Ligue des champions : le Bayern Munich, adversaire le plus probable du PSG en huitièmes de finale

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Le tirage au sort des huitièmes de finale de la Ligue des champions a lieu lundi 7 novembre, à Nyon (Suisse), au siège de l’Union des associations européennes de football (UEFA), à partir de midi. Un rendez-vous très attendu par les qualifiés du premier tour. Et cette année, certaines probabilités de tirage sont assez extrêmes. Liverpool a, par exemple, 37,1 % de chances de tomber sur le Bayern Munich, alors que le Paris Saint-Germain (PSG) n’a que 10,8 % de chances de rencontrer Porto. L’adversaire le plus probable du PSG est le Bayern Munich (19,5 %), suivi de Naples (17,1 %). Le tableau suivant donne les probabilités de tirage pour les seize équipes qualifiées :

Si Liverpool a autant de chances de rencontrer le Bayern Munich, cela est dû au fait que ces deux équipes n’ont que quatre adversaires possibles chacun. Inversement, le PSG et Porto ont chacun sept adversaires potentiels.

Pourquoi une telle disparité ? C’est la conséquence des contraintes que l’UEFA impose lors du tirage. Les vainqueurs de groupes doivent être appariés avec des deuxièmes de groupe. De plus, deux équipes d’un même pays ou qui faisaient partie d’un même groupe lors de la phase de poule ne peuvent pas être tirées l’une contre l’autre. Ainsi, Liverpool, deuxième du groupe A, ne peut rencontrer ni les vainqueurs de groupe anglais (Tottenham, Chelsea, Manchester City) ni Naples, vainqueur du groupe A.

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Contraintes lors du tirage

Etudions la probabilité que le PSG tombe sur le Bayern Munich. On pourrait penser que le PSG, qui a sept adversaires possibles, a une chance sur sept de tomber sur le Bayern. Ce sera le cas si le PSG est le premier deuxième de groupe tiré au sort, mais cela n’a qu’une chance sur huit de se produire. Et puis la probabilité de PSG-Bayern ne peut de toute façon pas être à la fois égale à un sur sept (vu de Paris) et à un sur quatre (vu de Munich) !

On pourrait aussi penser que, pour calculer la probabilité que deux équipes A et B se rencontrent, il suffirait de lister tous les résultats admissibles complets du tirage (il y en a 3 876 cette année), puis de calculer la proportion de tirages admissibles où A rencontre B. Par exemple, parmi les 3 876 résultats possibles du tirage, il y a exactement 702 résultats pour lesquels le PSG rencontre Munich (soit 18,1 %).

Il est tentant d’en conclure que Paris a 18,1 % de chances de rencontrer le Bayern. Ce serait le cas si le tirage au sort consistait à tirer au hasard une boule parmi 3 876, chaque boule représentant un tirage admissible complet. Mais ceci n’est pas faisable en pratique. Le tirage au sort suit d’autres règles, et la probabilité d’un affrontement PSG-Bayern n’est en fait pas égale à 18,1 %.

Pour calculer cette probabilité, il faut prendre en compte la manière dont l’UEFA procède pour imposer les contraintes lors du tirage. Huit boules, correspondant aux huit deuxièmes de groupe, sont placées dans une urne et tirées au sort successivement. A chaque fois qu’un deuxième de groupe est choisi, un ordinateur fournit la liste des adversaires possibles pour cette équipe. Un de ces adversaires est alors tiré au sort.

Déterminer la liste des adversaires possibles peut être plus compliqué qu’il n’y paraît. Imaginez par exemple que les quatre premiers affrontements tirés au sort soient Liverpool-Benfica, PSG-Chelsea, Leipzig-Naples et Bruges-Manchester City, et que Milan soit la cinquième boule tirée au sort de l’urne.

Même si Milan semble a priori pouvoir jouer contre Tottenham, Tottenham ne serait pas listé comme un adversaire possible pour Milan. En effet, apparier Milan et Tottenham mènerait à une impasse : le Bayern ne pourrait alors rencontrer qu’un club allemand ou l’Inter, ce qui est interdit, le Bayern et l’Inter s’étant déjà affrontés en phase de groupes.

L’impact du dernier but du Benfica

En considérant l’ensemble des scénarios possibles du tirage et en utilisant la formule des probabilités totales, on peut calculer les probabilités exactes par ordinateur. La procédure de tirage a un impact sur les probabilités : PSG-Bayern est plus probable qu’il ne devrait l’être (19,5 % contre 18,1 %), alors que Liverpool-Bayern est moins probable qu’il ne devrait l’être (37,1 % contre 39,9 %). Par « devrait l’être », j’entends : si les 3 876 tirages admissibles étaient équiprobables.

Pour illustrer l’impact de la procédure sur les probabilités, j’ai également calculé ce que seraient les probabilités si, au lieu de vider le pot des deuxièmes de groupes, l’UEFA vidait le pot des vainqueurs de groupes. Les probabilités seraient en effet légèrement différentes. Par exemple, la probabilité de Liverpool-Bayern baisserait légèrement, à 36,9 %.

Enfin, j’ai calculé ce qu’auraient été les probabilités si Benfica n’avait pas marqué un sixième but dans le temps additionnel contre le Maccabi Haïfa mercredi soir. Le PSG, qui aurait alors gagné son groupe, aurait eu 20,6 % de chances de tomber contre Liverpool. Les probabilités auraient été différentes, non seulement pour le PSG et Benfica, mais aussi pour toutes les autres équipes. Il est étonnant de constater à quel point un but influe sur le reste de la compétition.

Enfin, notons que si le Bayern est l’adversaire le plus probable du PSG, le PSG est aussi l’adversaire le moins probable du Bayern (avec Bruges), ce qui peut étonner mais n’a rien de contradictoire ! Relevons également que le fait que le PSG ait 19,5 % de chances de rencontrer le Bayern signifie aussi qu’il a nettement plus de chances (80,5 %) de ne pas tomber sur lui !

Les huitièmes de finale de la Ligue des champions auront lieu les 14 et 15 février, puis les 21 et 22 février 2023 pour les matchs aller ; les 7 et 8 mars puis les 14 et 15 mars 2023 pour les matchs retour

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